广宇方程的推导

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广宇方程的推导

 

内容提要:由于兰切斯特方程的计算与实际有偏差,所以要引入广宇方程,并且介绍广宇方程的推导过程和使用方法。当杀伤率趋近于0时,广宇方程计算的结果和兰切斯特第二方程结果相同;当杀伤率趋近于1时,广宇方程的计算结果和兰切斯特第一方程的计算结果相同。也就是说,广宇方程不仅可以更准确地预测实际结果,并且可以覆盖兰切斯特的2个方程。Xn表示胜利一方的兵力数量,Yn表示失败一方的兵力数量,n表示战斗的最终轮数,ab表示A方和B方的武器性能。

广宇方程的推导

由于兰切斯特方程计算的结果和实际推演有较大的出入,我们按照实际战斗来建立新的战斗模型,以弥补兰切斯特方程计算不准的问题。

假设A队的武器性能为A,命中率为kB队的武器性能为B,命中率为h。武器性能越好,射出的子弹越多,杀伤力越大,命中率越高,杀伤力越大(如图2-16所示)。

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2-16 战斗框图

在第n轮战斗完成时,每一队的人数都等于上一轮战斗剩余的人数减去本轮被杀的人数。A队在第n-1轮结束时剩余的人数为Xn-1,本轮被杀的人数为Yn-1×Bh,其中命中率h可以这样理解,假设B队每5发子弹打死一个敌人,那么命中率就是1/5=0.2。所以得到Xn=Xn-1-Yn-1×Bh。设杀伤率为武器性能和命中率的乘积,A队的杀伤率为a=AkB队杀伤率为b=Bh,即可得到关于XnYn的方程。

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求解过程

因为这个方程由我推导得到,为了方便理解,给出求解过程。

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由上式得到

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同理可得

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将上式带入,得到

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所以得到关于Xn的式子

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同理可得关于YnYn-1的式子

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YnYn-1的式子带入Xn得到

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合并同类项得到如下式子

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根据递归方程的特征方程求解方法,得到上式的特征方程和解为

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所以得到递归方程的通解为

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n=0n=1带入通解方程得到

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求解得到通解方程的系数

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将系数带入通解,即得到了X的解

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同理可得Y的解为

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假设最终Y队被全部消灭,另其为0

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于是得到

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由上式得到对战的轮数或者说时间为

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所以得到最终A队和B队实时人数的方程为

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由于上述方程由作者创立,为了方便区分,可以称为广宇方程或者gavin's equation

当两队的杀伤率相同时,即a=b时,可以简化得到

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兰切斯特方程的解为:

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我们来对比一下实际推演、兰切斯特方程和广宇方程对于A队和B队人数的计算和战斗周期的计算,看看有什么差别。

分别把X0=9Y0=6a=b=1/3带入兰切斯特方程和广宇方程,即可得到每一轮的剩余人数和战斗的周期。比如广宇方程计算的结束时间是2.32,那么分别将n=122.32带入广宇方程就能得到三个时刻A队和B队的实际人数(如表2-3所示)。

2-3 三种方式的计算结果

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从计算结果可以看出,兰切斯特方程每一轮计算的结果都比其他两个计算的结果大,兰切斯特方程计算的周期也比广宇方程计算的周期长。广宇方程在第1轮和第2轮计算结果和实际推演完全一致,第三轮由于时间不同而稍有偏差。广宇方程可以准确地反应实际战斗的实时情况,而兰切斯特方程则有较大偏差。

可以将兰切斯特法则、兰切斯特方程和广宇方程计算的结果在MATLAB中绘制成图形,实际推演指示的线上分别有4个小圆圈,代表了在时间为0123时,A队和B队的兵力数量(如图2-17所示)。

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2-17 实际推演、兰切斯特方程和广宇方程的结果对比

从图形可以看出,广宇方程对应的曲线和实际推演对应的曲线拟合得非常好,而兰切斯特方程对应的曲线则偏离实际推演曲线较多。

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